Die Spieltheorie (engl. game theory) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Modellierung und Untersuchung von Gesellschaftsspielen, von im weitesten Sinn gesellschaftsspielähnlichen Interaktionssystemen sowie mit den in diesen eingesetzten Spielstrategien beschäftigt. Die Spieltheorie ist dabei weniger eine zusammenhängende Theorie als mehr ein Satz von Analyseinstrumenten. Anwendungen findet die Spieltheorie vor allem im Operations Research, in den Wirtschaftswissenschaften, in den Politikwissenschaften, in der Soziologie, in der Psychologie, in der Informatik und seit den 1980ern auch in der Biologie.

 

Das Gefangenendilemma ist ein Paradoxon, das zentraler Bestandteil der Spieltheorie ist. Bei dem Dilemma handelt es sich um ein klassisches „Zwei-Personen-Nicht-Nullsummen-Spiel

Zwei Gefangene werden verdächtigt, gemeinsam eine Straftat begangen zu haben. Die Höchststrafe für das Verbrechen beträgt fünf Jahre. Beiden Gefangenen wird nun ein Handel angeboten, worüber auch beide informiert sind. Wenn einer gesteht und somit seinen Partner mitbelastet, kommt er ohne Strafe davon – der andere muss die vollen fünf Jahre absitzen. Entscheiden sich beide zu schweigen, bleiben nur Indizienbeweise, die aber ausreichen, um beide für zwei Jahre einzusperren. Gestehen aber beide die Tat, erwartet jeden eine Gefängnisstrafe von vier Jahren. Nun werden die Gefangenen unabhängig voneinander befragt. Es besteht weder vor noch während der Befragung die Möglichkeit für die Beiden, sich untereinander abzusprechen.

Paradox kann dieses Dilemma genannt werden, da die individuell vernünftigste Entscheidung der Gefangenen (gestehen) und die kollektiv vernünftigste Entscheidung (schweigen) auseinanderfallen. Eine eindeutige verbindliche Handlungsanweisung kann nicht ohne Weiteres angegeben werden.

Individuell scheint es für beide vorteilhafter zu sein, auszusagen. Der Gefangene denkt sich: Falls der andere gesteht, reduziere ich mit meiner Aussage meine Strafe von fünf auf vier Jahre; falls er aber schweigt, dann kann ich mit meiner Aussage meine Strafe von zwei Jahren auf Null reduzieren! Also sollte ich auf jeden Fall gestehen! Diese Entscheidung zur Aussage hängt nicht vom Verhalten des anderen ab, und es ist anscheinend immer vorteilhafter zu gestehen. Eine solche Strategie, die ungeachtet der gegnerischen gewählt wird, wird in der Spieltheorie als dominante Strategie bezeichnet.

Wie die Matrix zeigt, wären beide Gefangenen jedoch besser gestellt, entschieden sie sich beide zu schweigen. Dann erhielten beide nur zwei Jahre Gefängnis. Die Spielanlage verhindert aber gerade die Verständigung zwischen den Gefangenen und provoziert so einen einseitigen Verrat, durch den der Verräter das für ihn individuell bessere Resultat „Freispruch“ (falls der Mitgefangene schweigt) oder vier statt fünf Jahre (falls der Mitgefangene gesteht) zu erreichen hofft. Versuchen dies aber beide Gefangenen, so verschlimmern sie – auch individuell – ihre Lage, da sie nun je vier Jahre statt der zwei Jahre Gefängnis erhalten.

In diesem Auseinanderfallen der möglichen Strategien besteht das Dilemma der Gefangenen. Die vermeintlich rationale, schrittweise Analyse der Situation verleitet beide Gefangenen dazu zu gestehen, was zu einem schlechten Resultat führt (suboptimale Allokation). Das bessere Resultat wäre durch gemeinsame Kooperation erreichbar, die aber anfällig für einen Vertrauensbruch ist.

In einer Auszahlungsmatrix eingetragen, ergibt sich folgendes Bild:

 

A\B	B schweigt	B gesteht
A schweigt	(-2,-2)	(-5,0)
A gesteht	(0,-5)	(-4,-4)

 

Der Kampf der Geschlechter ist ein Problem aus der Spieltheorie. Die Spieler wollen gemeinsam den Abend verbringen, vergessen aber, sich über den Ort zu einigen. Möglich ist entweder ein Fußballspiel oder ein Konzert. Beide Spieler müssen sich unabhängig voneinander entscheiden. Das Fußballspiel wird von dem Mann, das Konzert von der Frau präferiert.

Die Auszahlungs-Matrix für das Spiel sieht folgendermaßen aus:

Mann\Frau	Fußball	Konzert
Fußball	(3,1)	(0,0)
Konzert	(0,0)	(1,3)

Erklärung zur Matrix: „Auszahlung“ des Mannes steht an erster Stelle, die der Frau an zweiter. Geht die Frau also ins Fußballstadion, wäre die beste Wahl des Mannes, auch dorthin zu gehen. Umgekehrt gilt das gleiche, daher ist die linke obere Zelle ein Nash-Gleichgewicht. Analog verhält es sich mit der Konzerthalle.

Es gibt also zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.

Das Problem dieses Spiels ist nun, dass es keine dominanten Strategien gibt. Wenn die beiden Spieler gleichzeitig ihre Lieblingsalternative (Frau geht ins Konzert, Mann zum Fußball.) wählen, kommt es zu keinem Treffen, was für beide nicht optimal ist. Sie würden in diesem Fall doch lieber an den Ort gehen, den der jeweils andere bevorzugt – Hauptsache, sie sind zusammen. Wenn aber beide so denken und dem anderen entgegen kommen möchten, treffen sie sich wieder nicht.

Als Ausweg könnten die Spieler per Zufall entscheiden (randomisieren), welchen Ort sie heute Abend aufsuchen werden. Dafür gibt es ein Gleichgewicht in gemischten Strategien.

Wir stellen eine Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion auf:

Uf = Nutzen der Frau
Um = Nutzen des Mannes 

Ff = Wahrscheinlichkeit, dass die Frau zum Fußball geht.

 

Fm = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann zum Fußball geht.

Um = 3*Fm*Ff + 0*Fm*(1-Ff) + 0*(1-Fm)*Ff+ 1(1-Fm)(1-Ff)
     = 3FmFf + 1-Ff-Fm+FmFf
     = 1 + 4FmFf - Fm - Ff 

 

Uf = 1*Fm*Ff + 0*Fm*(1-Ff) + 0*(1-Fm)*Ff+ 3(1-Fm)(1-Ff)
     = FmFf + 3 - 3Ff - 3Fm + 3FmFf
     = 3 + 4 FmFf - 3Ff - 3Fm 

<>Wenn ein Spieler die dem Nashgleichgewicht in gemischten Strategien
entsprechende randomisierte Strategie spielt, ist der andere Spieler
indifferent zwischen den reinen Strategien, die er in diesem
Nashgleichgewicht mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt, d. h. jede
dieser reinen Strategien bringt ihm den gleichen Erwartungsnutzen. Das
lässt sich ausnutzen, um das Nashgleichgewicht zu berechnen. Es muss
dann nämlich gelten:</>

Um: 1 + 4*1*Ff - 1 - Ff = 1 + 4*0*Ff - 0 - Ff 

Uf: 3 + 4*Fm*1 - 3*1 - 3Fm = 3 + 4*Fm*0 - 3*0 - 3Fm

Aus der ersten Gleichung folgt Ff = 0,25 und aus der zweiten Fm = 0,75.

Daraus folgt, dass beide in 25% aller Fälle den Lieblingsort ihres Partners aufsuchen sollten.

"Battle of the sexes" wird in der Regel für den Einstieg in die gemischten Strategien gewählt, weil es noch recht einfach zu errechnen ist. Interessant werden die Prozentangaben für gemischte Strategien z. B. beim Tennis oder beim Elfmeterschießen (siehe Dixit/Nalebuff), wo es ebenfalls keine dominanten Strategien gibt, die Wiederholungsrate aber entsprechend hoch ist.

 

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